Home » Μαθηματικά » Περί κύκλου θεώρημα α’ Αρχιμήδη (μέσα από την ματιά του Ευάγγελου Σταμάτη)

Περί κύκλου θεώρημα α’ Αρχιμήδη (μέσα από την ματιά του Ευάγγελου Σταμάτη)


Πας κύκλος ίσος έστι τριγώνω ορθογωνίω, ου η μεν εκ του κέντρου ίση μια των περί την ορθήν, η δε περίμετρος τη βάσει (διατύπωση του Αρχιμήδη)

-Κάθε κύκλος, του οποίου η ακτίνα είναι ίση προς μία κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου και η περιφέρειά του ίση προς την βάση του τριγώνου, είναι ίσος προς το ορθογώνιο τρίγωνο (σημερινή διατύπωση)

Απόδειξη Αρχιμήδη

Ας έχει αυτή την σχέση ο κύκλος ΑΒΓΔ προς το τρίγωνο Ε, όπως τούτο φαίνεται από τα υποκείμενα σχήματα, λέγω ότι ο κύκλος είναι ίσος προς το τρίγωνο.

imageimage

Διότι, εάν είναι δυνατόν, έστω ότι ο κύκλος είναι μεγαλύτερος του τριγώνου και ας εγγραφεί σε αυτόν το τετράγωνο ΑΓ, και ας ληφθούν τα μέσα των τόξων, και έστω ότι τα κυκλικά τμήματα είναι μικρότερα της υπεροχής, κατά την οποία υπερέχει ο κύκλος του τριγώνου. Άρα το εγγεγραμμένο πολύγωνο είναι μεγαλύτερο του τριγώνου. Ας ληφθεί κέντρο του κύκλου το Ν και ας αχθεί η κάθετος ΝΞ. Άρα η ΝΞ είναι μικροτέρα της μιας καθέτου πλευράς του τριγώνου (της ληφθείσας ίσης προς την ακτίνα). Είναι δε και η περίμετρος του εγγεγραμμένου πολυγώνου,  μικροτέρα της άλλης πλευράς του τριγώνου, επειδή είναι αυτή μικροτέρα της περιφέρειας του κύκλου, συνεπώς το εγγεγραμμένο πολύγωνο είναι μικρότερο του τριγώνου Ε, άτοπον.

Έστω ο κύκλος, εάν είναι δυνατόν, μικρότερος του τριγώνου Ε και ας περιγραφεί το τετράγωνο, και ας ληφθούν τα μέσα των τόξων και ας αχθούν στα σημεία διαιρέσεως των τόξων οι εφαπτόμενες του κύκλου. Άρα η γωνία ΟΑΡ είναι ορθή και συνεπώς η ΟΡ είναι μεγαλυτέρα της ΡΜ διότι ΡΜ=ΑΡ (και ΟΡ υποτείνουσα του τριγώνου ΟΑΡ). Και το τρίγωνο ΡΟΠ είναι μεγαλύτερο του μισού του σχήματος ΟΖΑΜ. Ας υπολειφθούν τα όμοια προς το τμήμα ΠΖΑ τμήματα (δια συνεχούς διαιρέσεως των τόξων) ούτως ώστε το άθροισμα αυτών να είναι μικρότερο της υπεροχής που υπερέχει το τρίγωνο Ε του κύκλου ΑΒΓΔ. Τότε κατά μείζονα λόγο, το περιγεγραμμένο πολύγωνο είναι μικρότερο του τριγώνου Ε, άτοπον. Διότι τούτο είναι μεγαλύτερο, επειδή η ΝΑ είναι ίση προς τη μία των καθέτων πλευρών του τριγώνου, η δε περίμετρος του περιγεγραμμένου πολυγώνου είναι μεγαλυτέρα της βάσης του τριγώνου ληφθείσης ίσης προς την περιφέρεια.

Άρα ο κύκλος ίσος προς το τρίγωνο Ε.

Απόδειξη Ευάγγελου Σταμάτη (επεξηγηματική)

Δεδομένα: Δίνεται κύκλος εμβαδού Κ, περιφέρειας Π, ακτίνας ρ και τρίγωνο εμβαδού Ε, του οποίου η μία κάθετος πλευρά ισούται με ρ και η άλλη κάθετος (η βάση) ισούται με Π. Ζητείται να αποδειχθεί ότι Κ=Ε.

Μεταξύ κύκλου και τριγώνου είναι δυνατό να συμβαίνουν τρία τινά: Κ<Ε, Κ>Ε, Κ=Ε. Εάν αποδειχθεί ότι ο κύκλος ούτε μικρότερος ούτε μεγαλύτερος είναι του τριγώνου, τότε απομένει ως αληθές το ζητούμενο, δηλαδή ότι Κ=Ε.

Υπόθεση 1:

Έστω ότι Κ>Ε και ότι η διαφορά του κύκλου από το τρίγωνο είναι δ=Κ-Ε. Εγγράφουμε στον κύκλο πολύγωνο, πρώτο τετράγωνο, κατόπιν 8γωνο ή 16γωνο, μέχρι να επιτύχουμε, ώστε τα κυκλικά τμήματα που απομένουν μετά την αφαίρεση του πολυγώνου από τον κύκλο, να έχουν άθροισμα μικρότερο του δ. Ας καλέσουμε Ζ1 το εμβαδό του τελευταίου εγγραφέντος και αφαιρεθέντος πολυγώνου και Τ1 την περίμετρο αυτού. Τότε θα είναι Κ-Ζ1<δ και συνεπώς Ζ1>Ε. Θεωρούμε τώρα την εκ του κέντρου Ν του κύκλου, κάθετη ΝΞ επί την πλευρά ΑΖ του εγγεγραμμένου πολυγώνου. Τότε το εμβαδό του πολυγώνου θα είναι Ζ1=Τ1*ΝΞ/2. Εξάλλου το εμβαδό του τριγώνου είναι Ε=Π*ρ/2. Αλλά Π>Τ1, διότι η περιφέρεια του κύκλου περικλείει το πολύγωνο και ρ>ΝΞ, διότι η ακτίνα είναι μεγαλύτερη του αποστήματος. Συνεπώς Τ1*ΝΞ/2<Π*ρ/2, άρα Ζ1<Ε. Τούτο όμως είναι άτοπο. Διότι δεν είναι δυνατό την μια φορά να είναι Ζ1>Ε και την άλλη Ζ1<Ε. Οπότε αποκλείεται να είναι ο κύκλος Κ μεγαλύτερος του τριγώνου Ε.

image

Υπόθεση 2:

image

image

image

(βλέπε για τον Αρχιμήδη: http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes)


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: