Home » Μαθηματικά » Θεωρήματα Μιγαδικής Ανάλυσης

Θεωρήματα Μιγαδικής Ανάλυσης


Laws-Euler-Formula-wik

Θεώρημα 2.5.1. Θεωρούμε συνάρτηση τέτοια που clip_image002[1], clip_image004[1], clip_image006[1] και clip_image008[1]. Τότε clip_image010[1] (2.5.1) αν και μόνο αν clip_image012[1] and clip_image014[1]. (2.5.2)

Θεώρημα 2.5.2. Θεωρούμε ότι clip_image010[2] και clip_image017, (2.5.7) τότε clip_image019, (2.5.8) clip_image021; (2.5.9) και αν clip_image023 , τότε clip_image025. (2.5.10)

Θεώρημα 2.6.1. Εάν clip_image027και clip_image029 είναι σημεία στο clip_image031-επίπεδο και clip_image033-επίπεδο, αντίστοιχα, τότε

clip_image035 αν και μόνο αν clip_image037(2.6.1) και clip_image039 αν και μόνο αν clip_image041 (2.6.2). Επιπλέον, clip_image043 αν και μόνο αν clip_image045. (2.6.3)

Θεώρημα 2.7.1. Η σύνθεση μιας συνεχούς συνάρτησης είναι και η ίδια συνεχής συνάρτηση.

Θεώρημα 2.7.2. Εάν μία συνάρτηση clip_image047[1] είναι συνεχής και μη μηδενική σε ένα εσωτερικό σημείο clip_image027[1] του πεδίου ορισμού της, τότε clip_image050 σε κάποια γειτονιά του σημείου.

Θεώρημα 2.7.3. Εάν η συνάρτηση clip_image047[2] είναι συνεχής σε μία κλειστή και φραγμένη περιοχή clip_image053[1], τότε η clip_image047[3] είναι φραγμένη στην clip_image055[1] και η clip_image057[1] αποκτά μέγιστη τιμή κάπου στην clip_image055[2].

Πρόταση. Η ύπαρξη της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο υποδηλώνει την συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο αυτό.

Θεώρημα 2.9.1. Εάν η clip_image047[4] διαθέτει παράγωγο στο clip_image027[2]και η clip_image060διαθέτει παράγωγο στο σημείο clip_image062, τότε η συνάρτηση clip_image064 διαθέτει παράγωγο στο clip_image027[3], και ισχύει clip_image066. (2.9.6)

Θεώρημα 2.10.1. Εάν clip_image076 και υπάρχει η  clip_image078 όπου clip_image080, τότε οι clip_image082και clip_image084 παραγωγίζονται στο clip_image086 και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy-Riemann clip_image088[1]. (2.10.7)

Θεώρημα 2.11.1. Εάν η συνάρτηση clip_image076[1]ορίζεται σε μία clip_image094περιοχή του σημείου clip_image096και οι συναρτήσεις clip_image082[1]και clip_image084[1] παραγωγίζονται στο clip_image086[1] ικανοποιοώντας τις εξισώσεις Cauchy-Riemann clip_image100 στο clip_image086[2], τότε η clip_image090[1] υπάρχει.

Πόρισμα Εάν η clip_image076[2]ορίζεται σε ένα χωρίο clip_image102 και οι συναρτήσεις clip_image082[2]και clip_image084[2] διαφορίζονται ικανοποιώντας τις εξισώσεις Cauchy-Riemann σε κάθε σημείο του clip_image102[1], τότε η clip_image047[5] διαφορίζεται στο clip_image102[2] και ισχύει clip_image105[1].

Πόρισμα A function clip_image076[3] is differentiable at a point clip_image107[1] if and only if the functions clip_image082[3]and clip_image084[3] are differentiable at clip_image086[3]and satisfy the Cauchy-Riemann equations clip_image088[2].

Θεώρημα 2.12.1. Εάν η συνάρτηση clip_image109[1] ορίζεται σε κάποια γειτονιά clip_image094[1] του μη μηδενικού σημείου clip_image111[1], τότε η clip_image047[6]είναι παραγωγίσιμη στο clip_image114όταν και μόνο όταν οι clip_image082[4] και clip_image084[4] είναι παραγωγίσιμες στο clip_image114[1] και ικανοποιούν τις πολικές εξισώσειςclip_image118 των Cauchy-Riemann.  Η παράγωγος clip_image090[2] γράφεται clip_image121[1] (2.12.7)

Πρόταση Εάν δύο συναρτήσεις είναι αναλυτικές στο χωρίο clip_image123[1], το άθροισμά τους και το γινόμενό τους είναι αναλυτικές συναρτήσεις στο clip_image123[2]. Το πηλίκο τους είναι αναλυτική συνάρτηση στο clip_image123[3] με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση στον παρονομαστή δεν μηδενίζεται σε κανένα σημείο του clip_image123[4].

Πρόταση Η σύνθεση δύο αναλυτικών συναρτήσεων f και g είναι η αναλυτική συνάρτηση clip_image136 με παράγωγο clip_image138.

Θεώρημα 2.13.1. Εάν clip_image140 στο χωρίο clip_image123[8], τότε η clip_image129[2] είναι σταθερή σε όλη το clip_image123[9].

Θεώρημα 2.15.1. Εάν η clip_image002 είναι αναλυτική στο χωρίο clip_image004, τότε οι συναρτήσεις clip_image006 και clip_image008 είναι αρμονικές στοclip_image004[1].

Θεώρημα 2.15.2. Μία συνάρτηση clip_image002[4] είναι αναλυτική στο χωρίο clip_image004[6] αν και μόνο αν ηclip_image006[4] είναι μία αρμονική συζυγής της clip_image008[4].

Θεώρημα 4.6.1 Θεωρούμε συνάρτηση clip_image002 σε μία καμπύλη clip_image004 με εξίσωση clip_image006 με clip_image002[1] συνεχή στην clip_image004[1]. Τότε για κάθε μη αρνητική σταθερά clip_image008τέτοια που οι τιμές της clip_image002[2] στην clip_image004[2] ικανοποιούν την clip_image010, έχουμε clip_image012, (4.6.1) όπου clip_image014 υποδηλώνει το μήκος της clip_image004[3].

Θεώρημα 4.7.1. Εάν η συνάρτηση clip_image002[8] είναι συνεχής στο χωρίο clip_image004[10], τότε οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες:

clip_image006[4] η clip_image002[9] έχει παράγουσα την clip_image008[4] στο clip_image004[11].

clip_image010[4] Τα ολοκληρώματα της clip_image012[4] πάνω σε καμπύλες του clip_image004[12] από σταθερό σημείο clip_image014[4] σε σταθερό σημείο clip_image016 έχουν την ίδια τιμή.

clip_image018 Τα ολοκληρώματα της clip_image012[5] πάνω σε κλειστές καμπύλες του clip_image004[13] έχουν τιμή το μηδέν.

Θεώρημα 4.9.1(Cauchy). Εάν η clip_image002[12] είναι αναλυτική στο clip_image004[18] και η clip_image006[6] συνεχής εκεί, τότε clip_image008[6]. (4.9.5)

Θεώρημα 4.9.2(Cauchy-Goursat). Εάν η clip_image002[14]είναι αναλυτική σε όλα τα εσωτερικά σημεία και πάνω στην κλειστή καμπύλη clip_image004[20], τότε clip_image006[8].

Theorem 4.11.1. If a function clip_image002[16]is analytic throughout a simply connected domain clip_image004[22], then clip_image006[10] (4.11.1) for every closed contour clip_image008[8] lying in clip_image010[6].

Corollary 1. A function clip_image002[20] that is analytic throughout a simply connected domain clip_image004[30] must have an antiderivative everywhere in clip_image004[31].

Theorem 4.11.2. Suppose that clip_image002[18]clip_image004[24] is a simple closed contour, described in the counterclockwise direction; clip_image006[12]clip_image008[10]are simple closed contours interior to clip_image004[25], all described in the clockwise direction, that are disjoint and whose interiors have no points in common (Fig.58). If a function clip_image010[8] is analytic on all of these contours and throughout the multiply connected domain consisting of all points inside clip_image004[26] and exterior to each clip_image012[8], then clip_image014[6]. (4.11.2)

Corollary 2. Let clip_image002[22] and clip_image004[34] denote positively oriented simple closed contours, where clip_image004[35] is interior to clip_image002[23](Fig.59). If a function clip_image006[14] is analytic in the closed region consisting of those contours and all points between them, then clip_image008[12]. (4.11.3)

Theorem 4.12.1(CIF). Εάν η clip_image002[26] είναι αναλυτική εντός και πάνω στην κλειστή καμπύλη clip_image004[38], τότε σε κάθε εσωτερικό σημείο clip_image006[16] της clip_image004[39] ισχύει clip_image008[14]. (4.12.1)


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: