Home » Μαθηματικά » Προσέγγιση του π = 3,14159… – Μία από τις πολλές μεθόδους

Προσέγγιση του π = 3,14159… – Μία από τις πολλές μεθόδους


Κανονικά πολύγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλοΘεωρούμε κύκλο ακτίνας ρ=½ και τα εγγεγραμένα σε αυτόν τετράγωνο πλευράς AD, κανονικό οκτάγωνο πλευράς AB και κανονικό δεκαεξάγωνο πλευράς AF. Συνεχίζοντας επ’ άπειρο τις εγγραφές στον κύκλο των κανονικών πολυγώνων με διπλασιασμό των πλευρών τους, γίνεται φανερό ότι δημιουργείται μια ακολουθία μηκών της μορφής λκ,…, όπου κ=ν, 2ν, 4ν, … με ν=4 (μπορεί να ληφθεί και άλλη τιμή, πχ ν=6) από την οποία μπορεί να προσεγγιστεί η περιφέρεια του κύκλου. Προσδιορίζοντας μία αναδρομική σχέση μεταξύ των λκ είναι δυνατός ο προσεγγιστικός υπολογισμός της αναλογίας περιφέρεια προς το διπλάσιο της ακτίνας, δηλαδή του αριθμού π~3.14159. Είναι Lκ=κλκ, όπου Lκ η περιφέρεια του κ-οστου κανονικού εγγεγραμμένου στον κύκλο πολυγώνου, και θέτοντας πκ=Lκ/2ρ=κλκ/2ρ έχουμε την αναδρομική ακολουθία. Θέτουμε λ4=AD, λ8=AB και λ16=ΑF. Το τρίγωνο OAD είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές ΟΑ=ΟD=ρ. Συνεπώς από το πυθαγόρειο θεώρημα εξάγεται AD242=ΟΑ2+ΟD2=2ρ2=>λ4=ρ√2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο OAC εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα για να προσδιοριστεί η OC, δηλαδή ΟΑ2=AC2+OC2=>OC2=OA2-AC2242/4=ρ222/4=ρ2/2. Ομοίως, στο ορθογώνιο τρίγωνο CΑΒ εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα για να προσδιοριστεί η ΑΒ, δηλαδή η λ8, ΑΒ282=AC2+CΒ2, αλλά AC=AD/2=λ4/2, CB=OB-OC=ρ-√(ρ242/4) και άρα λ8242/4+(ρ-√(ρ242/4))2= λ42/4+ρ2-2ρ√(ρ242/4)+ ρ242/4=2ρ2-2ρ√(ρ242/4). Παρατηρούμε ότι η σχέση αυτή είναι αναδρομική, δηλαδή από το λ4 υπολογίζεται το λ8, αν όπου λ4 θέσουμε το λ8 τότε υπολογίζεται το λ16=AF κλπ. Οπότε γενικεύοντας την προηγούμενη σχέση λαμβάνουμε λ=√(2ρ2-2ρ√(ρ2κ2/4)). Με λκ=2ρπκ/κ, λ=ρπ/κ και αντικατάσταση στην παραπάνω σχέση προκύπτει: ρπ/κ=√(2ρ2-2ρ√(ρ2-(2ρπκ/κ)2/4))=√(2ρ2-2ρ√(ρ22πκ22))=√2ρ√(1-√(1-πκ22))=>

π=√2κ√(1-√(1-πκ22))=>π=√2√(κ2κ√(κ2κ2))

Με χρήση του excel εξάγεται ο παρακάτω πίνακας τιμών του πκ, όπου γίνεται φανερό πως πρόκειται για μία ακολουθία αριθμών γνησίως αύξουσα, που τείνει στον αριθμό 3.14159… μετά από 8 υπολογιστικές επαναλήψεις (χωρίς την αρχική τιμή 2√2).

κ       πκ

4   ->2,82843=2√2

8   ->3,06147=4√(2-√2)

16  ->3,12145

32  ->3,13655

64  ->3,14033

128 ->3,14128

256 ->3,14151

512 ->3,14157

1024->3,14159

2048->3,14159

4096->3,14159

Ο υπολογιστικός φόρτος για τις 8 επαναλήψεις σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή είναι μηδαμινός. Εάν όμως βρισκόμαστε στην εποχή του Αρχιμήδη, τότε τα πράγματα αλλάζουν, ο φόρτος γίνεται τεράστιος, ακόμα και αν βρεθεί μια έξυπνη μέθοδος προσέγγισης της ρίζας, της ρίζας μέσα στην ρίζα κλπ (βλ. Υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας ακέραιου μη τετράγωνου αριθμού). Πληροφορίες για αριθμητικές μεθόδους και άλλα εργαλεία προσέγγισης του π βλέπε εδώ. Για μια νέα προσέγγιση βλέπε εδώ.


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: