Home » Μαθηματικά » Υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας ακέραιου μη τετράγωνου αριθμού

Υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας ακέραιου μη τετράγωνου αριθμού


Έστω, δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί κ και λ με κ<λ, τότε:

clip_image002[4]

1. Είναι κ<λ=>κ+λ<2λ=>κ(κ+λ)<2κλ=>κ<(2κλ)/(κ+λ)

2. Είναι 0<(κ-λ)^2=κ^2-2κλ+λ^2=κ^2+2κλ+λ^2-4κλ=(κ+λ)^2-4κλ=(κ+λ)^2-(2(κλ)^0.5)^2=>(κ+λ)^2>(2(κλ)^0.5)^2=>κ+λ>2(κλ)^0.5=>1>(2(κλ)^0.5)/(κ+λ)=>(κλ)^0.5>(κλ)^0.5(2(κλ)^0.5)/(κ+λ)=>(κλ)^0.5>(2κλ)/(κ+λ)

3. Είναι (βλ. 2.) (κλ)^0.5>(2κλ)/(κ+λ)=>(κ+λ)/2>(κλ)^0.5

4. Είναι κ<λ=>κ+λ<2λ=>(κ+λ)/2<λ

5. Θεωρούμε τις αριθμητικές ακολουθίες κ(n+1)=2κ(n)λ(n)/(κ(n)+λ(n)) και λ(n+1)=(κ(n)+λ(n))/2, με αρχικούς όρους τους κ και λ αντίστοιχα

6. Παρατηρούμε κ(n+1)λ(n+1)=κ(n)λ(n), δηλαδή η αριθμητική ακολουθία κ(n)λ(n)=σταθερά=κλ

7. Υποθέτουμε ότι η λ(n) συγκλίνει (αποδεικνύεται ότι είναι κάτω φραγμένη και γνησίως φθίνουσα) στον αριθμό Λ όταν ν->άπειρο και άρα η κ(n) συγκλίνει στον αριθμό Κ=κλ/Λ

8. Δεδομένης της σύγκλισης της λ(n), από τις σχέσεις λ(n+1)=(κ(n)+λ(n))/2 και κ(n)λ(n)=κλ, έχουμε Λ=(κλ/Λ+Λ)/2=(κλ+Λ^2)/(2Λ)=>2Λ^2=κλ+Λ^2=>Λ^2=κλ=>Λ=(κλ)^0.5

9. Άρα, Κ=κλ/Λ=κλ/(κλ)^0.5=(κλ)^0.5=Λ

10. Τα παραπάνω υποδεικνύουν ότι οι ακολουθίες κ(n) και λ(n) προσεγγίζουν βαθμιαία την τετραγωνική ρίζα του γινομένου κλ, από αριστερά η κ(n) (γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη), από δεξιά η λ(n) (γνησίως φθίνουσα και κάτω φραγμένη).

Αριθμητικό παράδειγμα: τετραγωνική ρίζα του 3

θα πρέπει να βρεθούν δύο ακέραιοι ή ρητοί αριθμοί, κ και λ αντίστοιχα, με κ<λ, των οποίων το γινόμενο να δίνει το 3. Ισχύει 3<4=2^2=>3^0.5<2 και 3/2<3, άρα με κ=3/2 και λ=2, τα παραγώμενα άνω και κάτω όρια προσέγγισης είναι:

κ(1)=2*(3/2)*2/(3/2+2)=6/(7/2)=12/7=1+5/7=1,714

λ(1)=(3/2+2)/2=(7/2)/2=7/4=1+3/4=1,750

κ(2)=2*(12/7)*(7/4)/((12/7)+(7/4))=6/(97/28)=168/97=1+71/98=1,724

λ(2)=((12/7)+(7/4))/2=(97/28)/2=97/56=1+41/56=1,733

κ(3)=2*(168/97)*(97/56)/((168/97)+(97/56))=6/(18817/5432)=32592/18817=1+13775/18817=1,732

λ(3)=((168/97)+(97/56))/2=(18817/5432)/2=18817/10864=1+7953/10864=1,732

Σταματώντας στον 3ο επαναληπτικό υπολογισμό, επειδή κ(3)=λ(3)=1,732 με ακρίβεια 3ου δεκαδικού ψηφίου προκύπτει:

1+13775/18817 < 3^0.5 < 1+7953/10864 ή

(1+13775/18817)^2 < 3 < (1+7953/10864)^2

(βλ. Τα ελληνικά Μαθηματικά και η τετραγωνική ρίζα, Μάρτιος 2007, Τεύχος 300)

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 37 other followers

%d bloggers like this: